「失礼いたしました」と「申し訳ございません」は日頃よく使いますが、「失礼いたしました」は謝罪の言葉とは違うという事

とはいえ私の理解が間違っている可能性もありますから、とにかく「失礼いたしました」という言葉について調べてみました。

色々なものを確認してみた結果ざっくりいうと、「失礼いたしました」は礼儀に欠けた言動をしたことについて、許しを求める言葉だと書かれていました。なので例えば先に帰るときなどに「失礼いたします」というように、謝罪の意味も含まれてはいますが、軽い謝罪になるという事で、先に書いた「あっ、ごめんね」っていう感覚は、間違いではありませんでした。

つまり「失礼いたしました」は、謙譲語の「いたす」を使用することで相手を立てつつ自分の過失を認める表現であり、礼儀や礼式を欠くこと、礼儀をわきまえないこと、相手に対して礼儀を欠いていることをした場合に用いる言葉になります。したがって「失礼いたしました」は許しを求める表現ではないため、謝罪としてはかなり軽い表現であり、その意味でいうならば謝罪をする場合には不十分な言葉であるという事が出来ます。
丁寧に言った「あっ、ごめんね」だという事です。